/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Różne

Zadanie nr 5569968

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8. Wyznacz wszystkie wartości n , dla których spełniona jest nierówność

| | ||S-−-Sn-|| | S | < 0,001, n

gdzie S n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a ) n .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez q iloraz ciągu (an) , to

{ 2 2 7 = a1 + a2 + a3 = a1 + a1q + a1q = a1(1 + q + q ) 8 = a1−1q-- ⇒ a1 = 8(1 − q).

Podstawiamy teraz a = 8(1 − q) 1 z drugiego równania do pierwszego.

7 = 8 (1− q )(1+ q+ q 2) = 8(1− q3) 7-= 1 − q3 8 3 7 1 1 q = 1 − 8-= 8- ⇒ q = 2-.

Stąd a1 = 8(1 − q) = 4 i

( ) n 1− 1 n ( ) S = a ⋅ 1-−-q-= 4⋅ -----2----= 8 1− 1-- n 1 1− q 1− 1 2n ( ) (2 ) 8 − 8 1 − 12n- 1− 1 − 21n -1 S-−-Sn- = ----(-------)-- = -------------= --2n---= --1---. Sn 8 1 − 1n- 1 − 21n 1 − 21n 2n − 1 2

W szczególności

||S − S || 1 ||-----n-|| = -n----- Sn 2 − 1

i pozostało rozwiązać nierówność

1 1 -------< ----- / ⋅1000(2n − 1) 2n − 1 1000 1000 < 2n − 1 n 1001 < 2 .

Ponieważ 9 2 = 512 i 10 2 = 102 4 , nierówność tą spełniają wszystkie liczby naturalne n > 9 .  
Odpowiedź: n > 9

Wersja PDF