Zadanie nr 7978714

Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch jedynek lub trzech szóstek w doświadczeniu losowym, polegającym na pięciokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.

Rozwiązanie

Niech oznacza zdarzenie polegające na otrzymaniu dokładnie dwóch jedynek, a zdarzenie polegające na otrzymaniu dokładnie trzech szóstek.

Sposób I

Za zdarzenia sprzyjające przyjmijmy ciągi długości 5 otrzymanych liczb oczek. Mamy zatem

|Ω| = 6 ⋅6 ⋅6⋅ 6⋅6 = 65 = 7776 .

Policzmy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu . W zdarzeniach tych mają być dokładnie dwie jedynki – ich miejsca możemy wybrać na

( ) 5 5-⋅4 2 = 2 = 1 0

sposobów. Na każdym z pozostałych trzech miejsc może być jedna z liczb: 2,3,4,5,6. Daje to (zasada mnożenia)

|A | = 10⋅ 5⋅5 ⋅5 = 1 250.

Podobnie obliczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu . Miejsca dla 6-tek możemy wybrać na

( ) 5 = 5⋅-4⋅3-= 10 3 3!

sposobów, do tego na każdym z pozostałych miejsc mamy 5 możliwości, czyli jest

|B | = 10 ⋅5⋅5 = 250

zdarzeń sprzyjających .

To co mamy obliczyć to prawdopodobieństwo zdarzenia A ∪ B , zanim to jednak zrobimy obliczmy ile jest zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A ∩ B . W zdarzeniach takich musimy mieć dwie jedynki i trzy szóstki. Miejsca jedynek możemy wybrać na

( ) 5 2 = 10

sposobów, więc |A ∩ B | = 10 . Stąd

|A ∪ B| = |A |+ |B |− |A ∩ B | = 1250 + 250 − 10 = 1490

i prawdopodobieństwo wynosi

1490- 74-5- P(A ∪ B) = 7776 = 3888 .

Sposób II

Korzystamy ze schematu Bernoullego. Jeżeli za sukces uznamy otrzymanie jedynki przy rzucie kostką, to prawdopodobieństwo sukcesu jest równe

1- 6.

Prawdopodobieństwo dwóch sukcesów w 5 próbach jest równe

( ) ( ) ( ) 5 1 2 1 3 5 ⋅4 1 53 2 ⋅54 P(A ) = -- ⋅ 1− -- = ---- ⋅--2 ⋅-3-= ---5-. 2 6 6 2 6 6 6

Podobnie obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia – tym razem za sukces przyjmijmy otrzymanie szóstki. Prawdopodobieństwo trzech sukcesów jest równe

( ) ( ) 3 ( ) 2 5 1- 1- 5-⋅4⋅3- 1-- 52- 2⋅53- P(B ) = 3 6 ⋅ 1 − 6 = 3 ⋅2 ⋅ 63 ⋅ 62 = 65 .

Mamy obliczyć P(A ∪ B) , nie jest to jednak P(A ) + P (B ) , bo zdarzenia te nie są rozłączne. Zastanówmy się jakie jest prawdopodobieństwo P(A ∩ B) . W zdarzeniach tego typu musimy wylosować 3 szóstki i 2 jedynki. Miejsca dla 2 jedynek możemy wybrać na