Zadanie nr 8493303

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 4.

Rozwiązanie

Kluczowa jest w tym zadaniu obserwacja, że kwadrat liczby całkowitej może dawać tylko resztę 1 lub 0 przy dzieleniu przez 4. Rzeczywiście, jeżeli jest liczbą parzystą, tzn. n = 2k to liczba n 2 dzieli się przez 4, jeżeli natomiast jest nieparzyste, tzn. n = 2k + 1 to

n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k2 + k)+ 1,

więc liczba ta daje resztę 1 z dzielenia przez 4.

Powyższa obserwacja oznacza, że suma kwadratów trzech liczb całkowitych dzieli się przez 4 (daje resztę 0) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie 3 są parzyste (bo żadna z liczb 0 + 0 + 1,0 + 1 + 1,1 + 1 + 1 nie dzieli się przez 4).