/Szkoła średnia/Zadania z treścią

Zadanie nr 1849460

Ze Szczecina do Częstochowy wybrały się dwie pielgrzymki: piesza i rowerowa. Pielgrzymka piesza wyruszyła pierwsza, pokonując każdego dnia 26 km. Po 8 dniach wyruszyła (z tego samego miejsca, tą samą trasą) pielgrzymka rowerowa, pokonując pierwszego dnia 54 km, a każdego następnego dnia o 2 kilometry mniej niż dnia poprzedniego. Pielgrzymki spotkały się dopiero u stóp Jasnej Góry. W którym dniu podróży i w jakiej odległości od miejsca wyjazdu pielgrzymka rowerowa dogoniła pielgrzymkę pieszą?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez n liczbę dni, które były potrzebne pierwszej pielgrzymce na dotarcie do Częstochowy. Zatem odległość jaką ona pokonała wynosi 26n . Liczba kilometrów przebytych przez drugą pielgrzymkę stanowi kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a = 54 1 i różnicy r = − 2 . Zatem po n − 8 dniach (czyli całym czasie podróży) druga pielgrzymka przebyła

2a + (n − 9)r 108 − 2(n − 9) ---1-----------⋅(n − 8) = ---------------⋅ (n− 8) = 2 2 = (54 − (n − 9))(n − 8) = (63− n)(n − 8).

Porównując odległości przebyte przez obie pielgrzymki otrzymujemy równanie

(63 − n)(n − 8) = 26n 63n − n 2 − 504+ 8n = 2 6n 2 0 = n − 4 5n + 504 Δ = 452 − 4⋅ 504 = 9 45-−-3- 45-+-3- n = 2 = 2 1 lub n = 2 = 24.

Zatem pierwsze spotkanie pielgrzymek nastąpiło po 21 dniach w odległości

21⋅2 6 = 546

kilometrów od Szczecina. Druga pielgrzymka przebyła tę odległość w czasie 21 − 8 = 13 dni.  
Odpowiedź: Po 13 dniach, w odległości 546 km

Wersja PDF