/Szkoła średnia/Zadania z treścią

Zadanie nr 2345953

W chwili początkowej (t = 0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t ≥ 0 funkcja m (t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji m (t) . Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że m (0) = 4 oraz

m(t + 1) = 81 % ⋅m (t) = 0,81m (t).

Mamy więc do czynienia z ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 0,81 i pierwszym wyrazie m (0) = 4 . W takim razie

m (t) = (0,8 1)t ⋅m (0) = 4 ⋅(0,81)t.

Ciąg ten jest oczywiście malejący – obliczmy jego kilka początkowych wyrazów.

m (0) = 4 m (1) = 4 ⋅0,81 = 3 ,2 4 m (2) = 3,24 ⋅0,81 = 2,6244 m (3) = 2,624 4⋅0,8 1 = 2,1257 64 m (4) = 2,125 764⋅ 0,81 ≈ 1,72 187 m (5) ≈ 1,721 87⋅0 ,81 ≈ 1,39

Widać więc, że po 5 dobach masa substancji będzie już mniejsza niż 1,5 grama.  
Odpowiedź: m (t) = 4⋅ (0,81)t , po 5 dobach.

Wersja PDF