Zadanie nr 2392708

Oblicz 2 − 3 + 6 − 7 + 10 − 11 + ⋅⋅⋅ + 2010 − 2 011 .

Rozwiązanie

Sposób I

Liczymy

2 − 3 + 6 − 7 + 10 − 11 + ⋅⋅ ⋅+ 2010 − 2 011 = = (2− 3 )+ (6 − 7) + (10 − 11 )+ ⋅⋅ ⋅+ (201 0− 2 011) = = (−1 )+ (− 1) + ⋅⋅⋅ + (− 1).

Ile jest tych (− 1) -ek? – tyle ile liczb

2, 6 = 2 + 4 ⋅1, 10 = 2 + 4 ⋅2,..., 20 10 = 2 + 4 ⋅502.

Widać więc, że jest ich 503, czyli interesująca nas suma jest równa -503.

Sposób II

Możemy też liczyć tak:

2 − 3 + 6 − 7 + 10 − 11 + ⋅ ⋅⋅+ 201 0− 2 011 = = (2+ 6+ 10+ ⋅⋅⋅+ 20 10)− (3+ 7+ 11+ ⋅⋅⋅+ 20 11).

W każdym nawiasie mamy sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r = 4 – obliczmy ile jest tych wyrazów. Oczywiście w obu nawiasach jest tyle samo liczb, więc wystarczy zająć się pierwszym nawiasem. Jeżeli a1 = 2 i an = 2010 to ze wzoru na -ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy