/Szkoła średnia/Zadania z treścią

Zadanie nr 5497752

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Gąsienica pełźnie po gałęzi do najbliższego smakowitego liścia, który jest odległy o 63,5 cm. Gąsienica jest jednak osłabiona i pełznie coraz wolniej. W pierwszej minucie udało jej się przebyć 32 cm, w drugiej pokonała drogę długości 16 cm, w trzeciej przepełznęła 8 cm itd. Po ilu minutach gąsienica dopełznie do liścia?

Rozwiązanie

Sposób I

Liczymy jaki dystans gąsienica pokona w kolejnych minutach

1 minuta: 32 cm 2 minuta: 32 + 16 = 48 cm 3 minuta: 48 + 8 = 5 6 cm 4 minuta: 56 + 4 = 6 0 cm 5 minuta: 60 + 2 = 6 2 cm 6 minuta: 62 + 1 = 6 3 cm 7 minuta: 63 + 0,5 = 63,5 cm .

Sposób II

Droga pokonana przez gąsienicę to suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a = 32 1 i q = 1 2 . Musimy więc rozwiązać nierówność

(1)n 1− qn 1− 2 63,5 ≤ Sn = a1 ⋅-------= 3 2⋅ ------1--- ( (1 −) q) 1− 2 1 n 63,5 ≤ 6 4 1− -- / : 64 ( ) 2 63,5- 1- n 64 ≤ 1− 2 ( )n ( ) 7 1- 127- -1-- 1- 2 ≤ 1− 128 = 128 = 2 .

Widać teraz, że najmniejszą liczbą naturalną n spełniającą powyższą nierówność jest n = 7 .  
Odpowiedź: Po 7 minutach.

Wersja PDF