Zadanie nr 7538011

Różnica dwóch liczb naturalnych dodatnich mniejszych od 130 jest równa 98, a ich największy wspólny dzielnik jest równy 14. Wyznacz te liczby.

Rozwiązanie

Oznaczmy szukane liczby przez i . Skoro największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy 14, to są one postaci x = 14a i y = 14b dla pewnych względnie pierwszych liczb i . Mamy zatem

x − y = 98 1 4a− 14b = 98 a − b = 7.

Zauważmy ponadto, że z założenia

x < 13 0 ⇒ 14a < 1 30 ⇒ a ≤ 9.

W takim razie a = 9 lub a = 8 . Mamy wtedy odpowiednio b = 2 i b = 1 . Daje to nam dwa rozwiązania: (x,y) = (126 ,28) lub (x ,y) = (112,14 ) .
Odpowiedź: (x,y ) = (126,28) lub (x,y ) = (112,14)