Zadanie nr 9932208

Z dwóch miast i odległych od siebie o 90 km wyjechali rowerami dwaj znajomi, by spotkać się o umówionej godzinie w miejscowości , znajdującej się między i . Pierwszy (z ) wyjechał o godzinę później niż drugi. W jakiej odległości od znajduje się , jeśli wiemy, że gdyby znajomi kontynuowali podróż (po spotkaniu w ), każdy w wybranym wcześniej kierunku i z dotychczasową szybkością, to pierwszy dotarłby do po półtorej godziny, zaś drugi do – po 4 godzinach?

Rozwiązanie

Oznaczmy przez i odpowiednio prędkości pierwszego i drugiego znajomego, a przez czas po jakim pierwsza osoba dotarła do . Do momentu spotkania pierwsza osoba przejechała więc v1t , a druga v2(t+ 1) kilometrów. W sumie przejechali do tego momentu całą odległość między i , co daje równanie.

v1t+ v 2(t+ 1) = 9 0.

Wiemy ponadto, że pokonanie pozostałych 90 − v1t kilometrów zajęło pierwszemu turyście 1,5 godziny, a pokonanie pozostałych 90− v2(t+ 1) kilometrów zajęło drugiemu turyście 4 godziny. Otrzymujemy stąd dwa kolejne równania.

{ 1,5v 1 = 90 − v1t 4v 2 = 90 − v2(t+ 1).

Otrzymany układ trzech równań można rozwiązań na różne sposoby, my wyliczymy z dwóch ostatnich równań v 1 i w zależności od i podstawimy otrzymane wyrażenia do pierwszego z otrzymanych równań. Liczymy

90 1 80 (1,5+ t)v 1 = 90 ⇒ v1 = -------= ------ t+ 1,5 2t + 3 -90-- (4+ t+ 1)v2 = 90 ⇒ v2 = t+ 5 .

Podstawiamy do pierwszego równania

-180--⋅t + --90- ⋅(t+ 1 ) = 90 / ⋅ (2t+-3-)(t-+-5)- 2t+ 3 t + 5 90 2t(t + 5) + (t+ 1)(2t+ 3 ) = (2t+ 3 )(t+ 5) 2t2 + 10t + 2t2 + 3t+ 2t+ 3 = 2t2 + 10t + 3t + 15 2 2t + 2t − 12 = 0 / : 2 t2 + t− 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25 − 1− 5 − 1 + 5 t = ---2--- = − 3 ∨ t = ---2--- = 2.

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy t = 2 . Stąd

-180-- 1-80 v 1 = 2t+ 3 = 7 .

Odległość między miastami i jest więc równa

1-80 3-60 3- tv1 = 2 ⋅ 7 = 7 = 51 7 km .

Sposób II

Tym razem za niewiadome przyjmijmy czas po jakim pierwsza osoba dojechała do oraz odległość między i . Zauważmy teraz, że możemy na dwa sposoby obliczyć prędkość pierwszej osoby:

x- 90-−-x- t = 1,5

(po prawej stronie liczymy prędkość uwzględniając podaną informację o czasie w jakim pierwsza osoba przejechała pozostałe 90 − x kilometrów). Podobnie, na dwa sposoby liczymy prędkość drugiej osoby (pamiętajmy, że startuje ona z ):