/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Deltoid

Zadanie nr 3598758

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A = (− 2,− 5) i C = (2,− 7) są przeciwległymi wierzchołkami deltoidu ABCD , w którym |AB | = |BC | . Wyznacz równanie prostej BD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku

PIC

Z obrazka widzimy, że musimy napisać równanie symetralnej odcinka AC , czyli prostej prostopadłej do AC i przechodzącej przez środek S odcinka AC (bo przekątne deltoidu są prostopadłe i przekątna BD dzieli przekątną AC na dwie równe części). Punkt S ma współrzędne

( ) − 2 + 2 − 5 − 7 S = -------,------- = (0,− 6). 2 2

Równanie prostej BD napiszemy na trzy sposoby.

Sposób I

Symetralna to zbiór punktów X = (x,y) , których odległość od końców odcinka jest taka sama. Punkty te spełniają więc równanie.

AX = CX AX 2 = CX 2 2 2 2 2 (x+ 2) + (y+ 5) = (x − 2) + (y+ 7) x2 + 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = x2 − 4x+ 4+ y2 + 14y + 49 8x − 24 = 4y / : 4 y = 2x − 6.

Sposób II

Zacznijmy od napisania równania prostej AC . Szukamy prostej postaci y = ax+ b . Podstawiając współrzędne punktów A i C otrzymujemy układ równań.

{ −5 = − 2a+ b −7 = 2a+ b

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić b ) mamy

− 2 = 4a ⇒ a = − 1. 2

I dalej możemy nie liczyć, bo potrzebny nam jest tylko współczynnik kierunkowy. Zatem prosta BD , jako prostopadła do AC musi mieć współczynnik kierunkowy 2, czyli jest postaci y = 2x+ b dla pewnego b . Współczynnik b wyliczamy podstawiając współrzędne punktu S = (0,− 6) .

− 6 = 0+ b ⇒ b = − 6.

Zatem szukana prosta ma równanie y = 2x − 6 .

Sposób III

Tym razem skorzystamy ze wzoru

p(x − a )+ q(y − b ) = 0

na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p ,q] i przechodzącej przez punkt S = (a ,b ) . W naszej sytuacji mamy

→ → v = AC = [2 + 2,− 7 + 5] = [4,− 2],

oraz S = (0,− 6) , czyli równanie prostej BD ma postać:

4(x − 0)− 2(y + 6) = 0 / : 2 2x − y − 6 = 0 y = 2x − 6.

 
Odpowiedź: y = 2x− 6

Wersja PDF