W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A=(-6,-3) i C=(-2,-5)... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Deltoid, 5585302

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Deltoid

Zadanie nr 5585302

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty $A = (− 6,− 3)$ i $C = (− 2,− 5)$ są przeciwległymi wierzchołkami deltoidu $ABCD$ , w którym $|AB | = |BC |$ . Wyznacz równanie prostej $BD$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku

Z obrazka widzimy, że musimy napisać równanie symetralnej odcinka $AC$ , czyli prostej prostopadłej do $AC$ i przechodzącej przez środek $S$ odcinka $AC$ (bo przekątne deltoidu są prostopadłe i przekątna $BD$ dzieli przekątną $AC$ na dwie równe części). Punkt $S$ ma współrzędne

( ) − 6 − 2 −3 − 5 S = -------, ------- = (− 4,− 4). 2 2

Równanie prostej $BD$ napiszemy na kilka sposobów.

Sposób I

Symetralna to zbiór punktów $X = (x,y)$ , których odległość od końców odcinka jest taka sama. Punkty te spełniają więc równanie.

AX = CX AX 2 = CX 2 2 2 2 2 (x+ 6) + (y+ 3) = (x + 2) + (y+ 5) x2 + 12x + 36 + y2 + 6y + 9 = x2 + 4x+ 4+ y2 + 10y + 25 8x + 16 = 4y / : 4 y = 2x + 4.

Sposób II

Zacznijmy od napisania równania prostej $AC$ . Szukamy prostej postaci $y = ax+ b$ . Podstawiając współrzędne punktów $A$ i $C$ otrzymujemy układ równań.

{ −3 = − 6a+ b −5 = − 2a+ b

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić $b$ ) mamy

− 2 = 4a ⇒ a = − 1. 2

I dalej możemy nie liczyć, bo potrzebny nam jest tylko współczynnik kierunkowy. Zatem prosta $BD$ , jako prostopadła do $AC$ musi mieć współczynnik kierunkowy 2, czyli jest postaci $y = 2x+ b$ dla pewnego $b$ . Współczynnik $b$ wyliczamy podstawiając współrzędne punktu $S = (− 4,− 4)$ .