Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9510956

Przekątne deltoidu ABCD przecinają się w punkcie S , który znajduje się w III ćwiartce układu współrzędnych. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie BCD jeżeli okręgi opisane na trójkątach BCS i BSA mają odpowiednio równania x2 + y2 + 16x + 12 = 0 i x 2 + y 2 − 2 0 = 0 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od schematycznego rysunku.


PIC


Z podanych równań okręgów łatwo wyznaczyć współrzędne ich punktów przecięcia.

{ x2 + y2 + 16x + 12 = 0 2 2 x + y − 20 = 0

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

16x + 32 = 0 ⇐ ⇒ x = − 2.

Podstawiamy tę wartość do drugiego równania układu.

 2 2 y = −x + 20 = 16 ⇐ ⇒ y = ± 4 .

W takim razie punkty wspólne dwóch danych okręgów to (− 2,− 4) i (− 2,4) . Wiemy, że punkt S znajduje się w III ćwiartce układu, więc musimy mieć S = (− 2,− 4) oraz B = (− 2,4) .

Ponieważ przekątne deltoidu są prostopadłe, a prosta BS jest pionowa, przekątna AC jest poziomą prostą przechodzącą przez punkt S , czyli prostą y = − 4 . Możemy więc teraz łatwo wyznaczyć współrzędne punktu C = (x,− 4) . Podstawiamy współrzędne tego punktu do równania okręgu opisanego na trójkącie BCS .

 2 2 x + y + 16x + 1 2 = 0 x2 + 16 + 16x + 12 = 0 2 x + 16x + 28 = 0 Δ = 162 − 4 ⋅28 = 144 x = −-16−--12-= −1 4 ∨ x = −-1-6+-1-2 = − 2. 2 2

Drugie rozwiązanie prowadzi do punktu S , więc wybieramy pierwsze rozwiązanie, czyli C = (− 14,− 4) .

Trójkąt BCD jest trójkątem równoramiennym, więc jego środek okręgu opisanego leży na prostej AC , czyli ma współrzędne postaci O = (x ,− 4) . Punkt ten musi znajdować się w tej samej odległości od wierzchołków trójkąta BCD , co pozwala wyznaczyć pierwszą współrzędną punktu O .

OC 2 = OB 2 2 2 2 2 (− 14 − x) + (− 4+ 4) = (− 2 − x) + (4+ 4) 196 + 28x + x2 = 4 + 4x + x2 + 64 24x = − 128 128 16 x = − ----= − --. 24 3

Zatem  ( ) O = − 16,− 4 3 . Pozostało teraz obliczyć odległość punktów O i C .

 16 16 26 OC = − ---− (− 14) = 1 4− ---= --. 3 3 3

Okrąg opisany na trójkącie BCD ma więc równanie

( ) ( ) 16- 2 2 26- 2 676- x+ 3 + (y + 4) = 3 = 9 .

Na koniec odrobinę dokładniejszy rysunek całej sytuacji.


PIC


 
Odpowiedź: ( ) x + 16 2 + (y + 4)2 = 676 3 9

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!