Zadanie nr 1587219
Liczby ze zbioru ustawiamy w losowy sposób w sześcioelementowy ciąg, przy czym każda liczba ze zbioru jest dokładnie jednym wyrazem tego ciągu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że iloczyn każdych dwóch sąsiednich wyrazów tego ciągu jest liczbą parzystą jeżeli wiadomo, że pierwszy wyraz tego ciągu jest liczbą nieparzystą.
Rozwiązanie
Sposób I
Za zdarzenia elementarne przyjmijmy wszystkie możliwe ciągi utworzone z liczb ze zbioru , w których pierwszy wyraz jest nieparzysty. Takich ciągów jest
(pierwszy wyraz wybieramy spośród 3 liczb nieparzystych, drugi spośród 5 pozostałych liczb, trzeci spośród 4 pozostałych liczb itd.).
Zastanówmy się teraz ile jest zdarzeń sprzyjających. Jeżeli ciąg rozpoczyna się od liczby nieparzystej, to jego drugi wyraz musi być liczbą parzystą. Jeżeli trzeci wyraz ciągu też jest liczbą parzystą, to łatwo wtedy wywnioskować, że trzecia liczba parzysta musi być na miejscu piątym, czyli mamy konfigurację postaci:
Jeżeli natomiast trzeci wyraz ciągu jest nieparzysty, to mamy dwie możliwe konfiguracje:
W każdej z trzech otrzymanych konfiguracji mamy
możliwości wypełnienia danej konfiguracji konkretnymi liczbami (osobno wybieramy liczby parzyste i osobno liczby nieparzyste). Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe
Sposób II
Tym razem za zdarzenia elementarne przyjmijmy wszystkie możliwe ciągi otrzymane w wyniku permutacji elementów zbioru . Zatem
Jeżeli oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn każdych dwóch sąsiednich wyrazów otrzymanego ciągu jest parzysty, a zdarzenie polegające na tym, że pierwszy wyraz utworzonego ciągu jest liczbą nieparzystą, to interesuje nas prawdopodobieństwo warunkowe
Łatwo obliczyć mianownik tego ułamka – ciągi z pierwszą liczbą nieparzystą możemy utworzyć na
sposoby (pierwszy wyraz wybieramy spośród 3 liczb nieparzystych, drugi spośród 5 pozostałych liczb, trzeci spośród 4 pozostałych liczb itd.).
Zdarzenia odpowiadają ciągom, w których pierwszy wyraz jest nieparzysty, i w których iloczyn każdych dwóch sąsiednich wyrazów jest parzysty. Tak jak w pierwszym sposobie zauważamy, że każdy taki ciąg musi mieć jedną z trzech postaci
Mamy więc
i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe
Odpowiedź: