/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Warunkowe i całkowite/Zbiory liczb

Zadanie nr 5205552

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Janek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo pk otrzymania liczby k jest dane wzorem: pk = -1 ⋅(6) 64 k . Rozważamy dwa zdarzenia:
– zdarzenie A polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {1 ,3,5} ,
– zdarzenie B polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {2,3,4,5 ,6 } .
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe P(A |B )

Rozwiązanie

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe mamy

P (A ∩ B ) P (A |B ) = ----------. P(B )

Zdarzenie A ∩ B to zdarzenie polegające na otrzymaniu 3-ki lub 5-ki, więc

P(A ∩ B) = p 3 + p 5.

Zauważmy, że zdarzenie B jest przeciwne do zdarzenia polegającego na otrzymaniu 1-ki lub zera, więc

P(B ) = 1 − p − p . 0 1

Widać teraz, że musimy obliczyć p0,p1,p 3 i p5 . Można to łatwo zrobić z trójkąta Pascala, albo wprost ze wzoru na symbol Newtona – my wybierzemy tę drugą drogę.

1 (6) 1 p0 = ---⋅ = --- 6 4 (0) 64 -1- 6 6-- p1 = 6 4 ⋅ 1 = 64 ( ) p = -1-⋅ 6 = 1-⋅ 6⋅-5⋅4-= 20- 3 6 4 3 64 3! 64 ( ) ( ) p5 = -1-⋅ 6 = 1-⋅ 6 = p 1 = -6-. 6 4 5 64 1 64

Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

20 6 P(A-∩-B-)- -p-3 +-p5--- ---64 +-64--- 26- P(A |B) = P(B ) = 1− p 0 − p1 = 1 − 1-− 6-= 57 . 64 64

 
Odpowiedź: 26 57

Wersja PDF