Zadanie nr 7462621

Ustalmy najpierw ile jest liczb czterocyfrowych podzielnych przez 6. Są to liczby

Jest więc takich liczb.

Ile spośród tych liczb dzieli się przez 4? – są to liczby podzielne przez 12, czyli liczby

Jest ich więc .

Analogicznie liczymy, ile jest liczb podzielnych przez 6 i 9 – czyli podzielnych przez 18

Jest ich więc .

W tym miejscu trzeba jednak odrobinę uważać, bo niektóre liczby policzyliśmy dwa razy – tak jest w przypadku liczb, które jednocześnie dzielą się przez 4 i 9, czyli takich, które dzielą się przez 36. Obliczmy ile ich jest.

Jest ich więc i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe

Jeżeli oznaczymy przez , i zdarzenia polegające na wylosowaniu liczby czterocyfrowej podzielnej odpowiednio przez 4, przez 9 i przez 6, to musimy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe

Liczby czterocyfrowe podzielne przez 6 tworzą skończony ciąg arytmetyczny o różnicy i taki, że

Mamy stąd

Zatem

(bo wszystkich liczb czterocyfrowych jest ).

Zajmijmy się teraz zdarzeniem , czyli liczbami, które są jednocześnie podzielne przez 4 i 6. Takie liczby to dokładnie liczby podzielne przez 12. Tworzą one skończony ciąg arytmetyczny o różnicy i taki, że

Mamy stąd

Zatem

Analogicznie obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia , czyli zdarzenia w którym liczby są podzielne jednocześnie przez 9 i 6, czyli przez 18. Liczby takie tworzą skończony ciąg arytmetyczny o różnicy i taki, że

Mamy stąd

Zatem

Wciąż mamy za mało danych aby obliczyć prawdopodobieństwo

Musimy jeszcze obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia , czyli zdarzenia, w którym mamy liczby podzielne jednocześnie przez 4 i 9, czyli przez 36. Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy i taki, że

Mamy stąd

Zatem

i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe

 
Odpowiedź: