/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane/Punkty poza okręgiem

Zadanie nr 4493035

Cięciwy AD i BC okręgu o środku O przecinają się w punkcie P tak, że |∡AP C | = 50∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Jeżeli punkt E jest punktem wspólnym prostych AC i BD , to miara kąta AEB jest równa
A) 40∘ B) 5 0∘ C) 60∘ D) ∘ 70

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że każdy z kątów: ADB i ACB jest oparty na średnicy AB . Zatem

∡ADB = ∡ACB = 90∘.

Ponadto

∡CP D = 180∘ − ∡AP C = 180∘ − 50 ∘ = 130∘.

Korzystamy teraz z tego, że suma kątów w czworokącie PCED jest równa 36 0∘ .

∘ α = ∡AEB = 360 − ∡CP D − ∡P CE − ∡P DE = = 360∘ − 130 ∘ − 90 ∘ − 9 0∘ = 50∘.

Sposób II

Tak jak poprzednio zauważamy, że

∘ ∡ADB = ∡ACB = 90 .

Stąd

∘ α = ∡AEB = 90 − ∡DAC = = 90 ∘ − (9 0∘ − ∡AP C) = ∡AP C = 50∘.

Sposób III

Tak jak poprzednio zauważamy, że

∘ ∡ADB = ∡ACB = 90 .

Trójkąty AED i AP C są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku A . Są więc podobne. Zatem

∡AED = ∡AP C = 50∘.

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF