/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane/Punkty poza okręgiem

Zadanie nr 9089160

Bok AB trójkąta ABC jest średnicą okręgu o środku S , a boki AC i BC przecinają ten okrąg odpowiednio w punktach D i E (zobacz rysunek). Ponadto |∡ABC | = 47∘ i |∡BAC | = 67∘ .

PIC

Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy
A) 43∘ B) 2 4∘ C) 23∘ D) 20∘

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że kąty ADB i AEB są oparte na średnicy AB okręgu, więc oba są proste (czyli AE i BD są wysokościami trójkąta ABC ).

Sposób I

Wiemy, że

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡ACB = 180 − ∡ABC − ∡BAC = 18 0 − 47 − 67 = 66 .

Zatem w trójkącie prostokątnym BCD .

α = ∡DBC = 90∘ − ∡ACB = 90∘ − 66∘ = 2 4∘.

Sposób II

W trójkącie prostokątnym ABE mamy

∡BAE = 90∘ − ∡ABE = 9 0∘ − 47∘ = 43∘.

Stąd

∡DAE = ∡BAC − ∡BAE = 67 ∘ − 4 3∘ = 24∘.

Teraz wystarczy zauważyć, że kąty DAE i DBE są oparte na tym samym łuku, więc

∘ α = ∡DBE = ∡DAE = 24 .

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że ∡DAE = 24∘ . Teraz wystarczy zauważyć, że trójkąty prostokątne AMD i BME są podobne (bo mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku M ). Zatem

∘ α = ∡DBE = ∡DAE = 24 .

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF