/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane/4 punkty na okręgu

Zadanie nr 2273344

Na okręgu o środku S leżą punkty A ,B,C i D . Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Kąt między tą średnicą a cięciwą AC jest równy 2 1∘ (zobacz rysunek).

PIC

Kąt α między cięciwami AD i CD jest równy
A) 21∘ B) 4 2∘ C) 48∘ D) 69∘

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Trójkąt ASC jest równoramienny (bo SA = SC ), więc

∘ ∘ ∘ ∘ ∡ASC = 180 − ∡SAC − ∡SCA = 180 − 21 − 21 = 138 .

Interesujący nas kąt ∡ADC jest oparty na tym samym łuku, co kąt ∡ASC , więc

1- 1- ∘ ∘ α = ∡ADC = 2∡ASC = 2 ⋅138 = 6 9 .

Sposób II

Zauważmy, że trójkąt ABC jest prostokątny (bo kąt ∡ACB jest oparty na średnicy). Ponadto kąty ∡ADC i ∡ABC są oparte na tym samym łuku, więc

α = ∡ADC = ∡ABC = 90∘ − 21∘ = 69∘.

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF