/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane/4 punkty na okręgu

Zadanie nr 5089786

Trapez równoramienny ABCD jest wpisany w okrąg o środku O (zobacz rysunek).

PIC

Różnica miar kątów DCB i ABC tego trapezu jest równa
A) 52∘ B) 2 4∘ C) 46∘ D) 22∘

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy z tego, że kąty wpisane oparte na tych samych łukach są równe.

PIC

Mamy zatem

∘ ∡BDC = ∡BAC = 28 ∡BCA = ∡BDA = 74∘.

Ponadto AB ∥ CD , więc

∡ACD = ∡CAB = 28∘ ∘ ∡ABD = ∡CDB = 28 .

Stąd

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡DBC = 180 − BDC − ∡BCD = 1 80 − 28 − 28 − 74 = 5 0 .

i

∡DCB − ∡ABC = 28 ∘ + 7 4∘ − 2 8∘ − 50∘ = 24∘.

Sposób II

Niech S będzie punktem przecięcia się przekątnych trapezu. Trójkąty ABS i CDS są podobne i równoramienne, więc ich wszystkie kąty ostre mają miary 28 ∘ . Ponadto

∘ ∘ ∘ ∘ ∡ASB = 180 − 28 − 28 = 124 ∡ASD = 180∘ − ∡ASB = 1 80∘ − 124∘ = 5 6∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡DAS = 180 − ∡ADS − ∡ASD = 1 80 − 74 − 56 = 50 .

Stąd

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡DCB − ∡ABC = ∡CDA − ∡BAD = 28 + 7 4 − 2 8 − 50 = 24 .

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF