/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane/4 punkty na okręgu

Zadanie nr 9604716

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A ,B,C i D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów α i β są odpowiednio równe

PIC

A) α = 80∘, β = 40∘ B) α = 80∘, β = 60∘ C) α = 8 0∘, β = 80∘ D) α = 40∘, β = 120∘

Rozwiązanie

Ponieważ kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, to

α = 2 ⋅∡DAC = 2 ⋅40∘ = 80 ∘.

Miarę kąta β obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Dorysujmy promień AO .

PIC

Ponownie korzystamy z tego, kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

∘ ∡AOD = 2 ⋅∡ACD = 80 1 1 ∘ ∘ ∘ ∡ABC = -∡AOC = --(80 + 80 ) = 80 . 2 2

Sposób II

Korzystamy z tego, że w czworokącie wpisanym w okrąg sumy przeciwległych kątów są równe 180∘ .

∡ABC = 180∘− ∡ADC = 180∘ − (180∘ − ∡DAC − ∡DCA ) = 40∘+ 4 0∘ = 80∘.

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF