/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Prostokąt w podstawie

Zadanie nr 2742860

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD o bokach długości a i b . Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od krawędzi SC jest równa d . Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zadanie oczywiście sprowadza się do obliczenia wysokości ostrosłupa, czyli długości krawędzi AS . Niech E będzie rzutem punktu A na krawędź SC . Długość krawędzi AS możemy obliczyć licząc pole trójkąta prostokątnego ACS na dwa sposoby (lub, jeżeli ktoś woli, korzystając z podobieństwa trójkątów ACE i SCA ).

A∘C -⋅AS--= 2PACS∘= -CS-⋅AE------- a2 + b2 ⋅AS = a2 + b2 + AS 2 ⋅d /()2 (a2 + b2) ⋅AS 2 = (a2 + b2)d2 + AS 2 ⋅d 2 √ -2----2 (a2 + b2 − d2)AS 2 = (a2 + b2)d2 ⇒ AS = √-d--a--+-b---. a2 + b2 − d2

Objętość ostrosłupa jest więc równa

------- ------- 1 d√ a 2 + b2 abd √ a2 + b2 V = --⋅ab ⋅√------------- = -√-------------. 3 a 2 + b2 − d2 3 a2 + b2 − d2

 
Odpowiedź: √-2--2 -a√bd2a-+2b-2 3 a+b −d

Wersja PDF