/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Prostokąt w podstawie

Zadanie nr 6461116

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD , w którym |AB | = 1 , √ -- |BC | = 2 . Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa mają długość 1. Wyznacz cosinus kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Zauważmy, że trójkąt CDS jest równoboczny, a trójkąt BCS prostokątny (jest to połówka kwadratu). Najtrudniejsze w tym zadaniu to odpowiednio narysować płaszczyznę, w której będziemy liczyć miarę kąta między ścianami. Płaszczyzna ta musi być prostopadła do krawędzi kąta, w dodatku możemy tak ją wybrać, żeby przechodziła przez punkt D . W otrzymanym trójkącie DF G znamy długość boku DF (wysokość w trójkącie równobocznym)

√ -- --3- DF = 2 .

Aby obliczyć pozostałe boki (liczymy je, żeby z twierdzenia cosinusów obliczyć cos∡GF D ) musimy ustalić, gdzie na boku BC leży punkt G . To co wiemy, to że odcinek GF jest prostopadły do krawędzi SC oraz 1 FC = 2 . Jak wcześniej zauważyliśmy, ∘ ∡GCF = 45 (bo BCS jest równoramiennym trójkątem prostokątnym). Zatem GCF jest równoramiennym trójkątem prostokątnym, czyli

1- GF = FC = 2 .

Ponadto √- GC = 22- , więc z trójkąta prostokątnego GCD mamy

GD 2 = GC 2 + CD 2 = 1-+ 1 = 3. 2 2

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie GF D .

GD 2 = GF 2 + DF 2 − 2GF ⋅ DF cos α √ -- 3-= 1-+ 3-− 2 ⋅ 1-⋅--3co sα 2 4 √ 4- 2 2 1 3 --= − ----cosα 2 2 √ -- √1-- --3- cos α = − 3 = − 3 .

 
Odpowiedź: √ - --3 − 3

Wersja PDF