Zadanie nr 9049853
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt . Spodkiem wysokości ostrosłupa jest środek krawędzi . Oblicz tangens kąta między ścianami bocznymi i tego ostrosłupa jeżeli i .
Rozwiązanie
Niech będzie środkiem krawędzi oraz . Wtedy z założenia i .
Zauważmy, że podstawą ostrosłupa jest kwadrat , a wysokością tego ostrosłupa jest jego krawędź . W szczególności ściany i są przystające i kąt między tymi ścianami to kąt między wysokościami i trójkątów i (płaszczyzna jest prostopadła do krawędzi wspólnej ścian i , więc kąt jest interesującym nas kątem między tymi ścianami).
Obliczamy na początek długości odcinków .
Zauważmy teraz, że trójkąty i są prostokątne – wynika to z tego, że krawędzie i są prostopadłe odpowiednio do ścian i . Wysokość trójkąta prostokątnego możemy obliczyć porównując dwa wzory na pole.
Tangens kąta obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Odcinek jest wysokością w trójkącie równoramiennym , więc
Obliczamy teraz .
Obliczamy teraz .
Interesujący nas tangens jest więc równy
Sposób II
Tym razem obliczamy pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie .
Liczymy teraz .
Interesujący nas tangens jest więc równy
Odpowiedź: