/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Prostokąt w podstawie

Zadanie nr 9049853

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD . Spodkiem wysokości ostrosłupa jest środek E krawędzi CD . Oblicz tangens kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa jeżeli |AB | = 2|BC | i |SE | = 3|BC | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech F będzie środkiem krawędzi AB oraz BC = a . Wtedy z założenia AB = 2a i SE = 3a .

PIC

Zauważmy, że podstawą ostrosłupa FBCES jest kwadrat FBCE , a wysokością tego ostrosłupa jest jego krawędź SE . W szczególności ściany F BS i CBS są przystające i kąt między tymi ścianami to kąt między wysokościami F K i CK trójkątów FBS i CBS (płaszczyzna FKC jest prostopadła do krawędzi wspólnej BS ścian F BS i CBS , więc kąt FKC jest interesującym nas kątem między tymi ścianami).

Obliczamy na początek długości odcinków SF ,SB ,SC .

∘ ----------- ∘ --------- √ --- SF = SC = SE 2 + EF2 = 9a2 + a2 = a 10 ∘ ----------- ∘ ---------- √ --- SB = SE 2 + EB2 = 9a2 + 2a2 = a 1 1.

Zauważmy teraz, że trójkąty F BS i CBS są prostokątne – wynika to z tego, że krawędzie F B i BC są prostopadłe odpowiednio do ścian SF E i SCE . Wysokość F K = KC trójkąta prostokątnego FBS możemy obliczyć porównując dwa wzory na pole.

1 1 -FB ⋅SF = PFBS = --SB ⋅FK 2 2√ --- √ --- FB-⋅SF-- a⋅a--1-0- --1-0 F K = SB = √ --- = √ ---a. a 11 1 1

Tangens kąta α = FKC obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Odcinek LK jest wysokością w trójkącie równoramiennym FKC , więc

√ - √ --- α F L a22- 11 sin --= ----= √-10--= -√---. 2 FK √-11a 2 5

Obliczamy teraz co sα .

2 α- 1-1 -2- -1- cosα = 1− 2sin 2 = 1 − 2 ⋅2 0 = − 20 = − 10 .

Obliczamy teraz sin α .

∘ -------- √ --- √ --- ∘ -------2-- -1-- --99- 3--11- sin α = 1− cos α = 1 − 100 = 10 = 10 .

Interesujący nas tangens jest więc równy

√-- sin α 3-11- √ --- tg α = ----- = -10--= − 3 11. co sα − 110

Sposób II

Tym razem obliczamy co sα pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie F KC .

FC 2 = FK 2 + CK 2 − 2FK ⋅CK cos α = 2F K2 − 2F K2 cosα = 2FK 2(1− cosα ) 2a2 = 2 ⋅ 10-a2(1− cosα ) 11 11- -1- 1− cosα = 10 ⇒ cos α = − 10 .

Liczymy teraz sinα .

∘ ---------- ∘ -------- √ --- √ --- sin α = 1− cos2α = 1 − -1--= --99-= 3--11-. 100 10 10

Interesujący nas tangens jest więc równy

3√11 sin-α -10-- √ --- tg α = co sα = − -1 = − 3 11. 10

 
Odpowiedź: √ --- − 3 11

Wersja PDF