/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Prostokąt w podstawie

Zadanie nr 9256791

Podstawą ostrosłupa ABCDW jest kwadrat ABCD o polu 2. Krawędź boczna DW jest wysokością tego ostrosłupa. Długości krawędzi bocznych AW i BW spełniają warunek √ -- 2 |BW | = 6|AW | . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

W podstawie mamy kwadrat o polu 2, czyli

2 √ -- AB = 2 ⇒ AB = 2.

Zauważmy, że krawędź AB jest prostopadła do AD i do DW (bo jest równoległa do DC ). To oznacza, że krawędź AB jest prostopadła do płaszczyzny ADW . Jest więc prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, w szczególności trójkąt ABW jest prostokątny. Mamy więc

∘ ------------- √ -- 2 2 2 = AB = ∘ BW---−-AW----------- √ -- ( )2 ∘ -------------- 2 = AB = BW 2 − √2--BW = BW 2 − 2BW 2 /()2 6 3 1 2 = --BW 2 3 √ -- BW = 6.

Mamy stąd

2 AW = √--BW = 2, 6

oraz

∘ ----2------2- √ ------ √ -- DW = AW − AD = 4− 2 = 2.

Objętość ostrosłupa jest więc równa

√ -- √ -- V = 1⋅ AB 2 ⋅DW = 1-⋅2 ⋅ 2 = 2---2. 3 3 3

 
Odpowiedź: √ - V = 2-32

Wersja PDF