Zadanie nr 8615516
Podstawą ostrosłupa jest trapez
. Przekątna
tego trapezu ma długość
, jest prostopadła do ramienia
i tworzy z dłuższą podstawą
tego trapezu kąt o mierze
. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość
. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od naszkicowania opisanej sytuacji – aby to zrobić zauważmy, że z treści wynika, że podstawami trapezu są odcinki i
oraz
.
Zauważmy jeszcze, że z informacji o tym, że wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość wynika, że trójkąty prostokątne i
są przystające, więc
, co z kolei oznacza, że spodek
wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na trapezie
(w szczególności trapez ten musi być równoramienny).
Skupmy się teraz na obliczeniu promienia okręgu opisanego na trapezie
. Można to zrobić korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie
, ale można też zrobić to prościej – wystarczy zauważyć, że średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym
jest przeciwprostokątna
(nie będzie to nam potrzebne, ale to oznacza, że punkt
jest tak naprawdę środkiem krawędzi
). Mamy zatem
![√ -- √ -- AC-- ∘ --3- 8√-3- AB = cos 30 = 2 ⇒ AB = -3- = 16 2 1- R = 2 AB = 8.](https://img.zadania.info/zad/8615516/HzadR16x.gif)
Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny . Obliczamy najpierw długość jego przyprostokątnej
.
![∘ ---------- √ -------- ES = SD 2 − R2 = 8 0− 6 4 = 4.](https://img.zadania.info/zad/8615516/HzadR19x.gif)
Teraz obliczamy wysokość tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną – porównujemy dwa wzory na pole trójkąta
.
![1 1 --SD ⋅h = -ED ⋅ES 2 2 √ -- ED-⋅-ES- 8-⋅4- -8-- 8--5- h = SD = 4√ 5-= √ 5-= 5 .](https://img.zadania.info/zad/8615516/HzadR22x.gif)
Odpowiedź: