Zadanie nr 3231435
Podstawą ostrosłupa 
jest czworokąt wypukły 
, w którym 
oraz 
. Każda z krawędzi bocznych ostrosłupa ma długość 
. Oblicz wysokość ostrosłupa.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Zauważmy, że jeżeli 
jest wysokością ostrosłupa to każdy z trójkątów 
i 
jest prostokątny i każde dwa z nich mają tę samą długość przeciwprostokątnej oraz jednej z przyprostokątnych (dokładnie: 
). To oznacza, że trójkąty te są przystające, więc
To z kolei oznacza, że na czworokącie 
można opisać okrąg i punkt 
jest środkiem tego okręgu. W takim razie do obliczenia wysokości (np. z trójkąta 
) brakuje nam długości promienia okręgu opisanego na czworokącie 
.
Zauważmy, że okrąg opisany na czworokącie 
jest też okręgiem opisanym na trójkącie 
, więc jego promień możemy wyliczyć stosując twierdzenie sinusów w tym trójkącie. Tak się szczęśliwie składa, że mamy nawet podany 
, więc do pełni szczęścia brakuje nam długości przekątnej 
. Tę długość możemy jednak wyliczyć stosując twierdzenie cosinusów.
Wszystko wiemy, więc liczymy – na początek długość przekątnej 
.
Teraz obliczamy 
(sinus jest dodatni dla kątów wypukłych). Teraz piszemy twierdzenie sinusów w trójkącie 
.
Teraz piszemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie 
.
Odpowiedź: 
