Zadanie nr 7828478
Podstawą ostrosłupa jest równoległobok o przekątnej długości i bokach długości 32 i 34. Pole powierzchni bocznej jednej ze ścian bocznych ostrosłupa jest mniejsze od pola powierzchni sąsiedniej ściany bocznej i jest równe 1808. Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych równoległoboku , a jego ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Oblicz długość krótszej z krawędzi bocznych ostrosłupa .
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Jeżeli przyjmiemy oznaczenia z rysunku, tzn. i , to zauważmy, że ściana ma mniejsze pole niż ściana . Tak jest, bo te dwa trójkąty są ostrokątne i mają dwa takie same boki: i . W takim razie mniejsze pole ma ten z tych dwóch trójkątów, który ma mniejszy kąt przy wierzchołku (ze wzoru na pole z sinusem). A mniejszy kąt ma trójkąt , bo i na mocy twierdzenia cosinusów mamy wtedy
W takim razie wiemy, że ściana ma pole równe 1808. Jeżeli więc jest wysokością trójkąta opuszczoną na , to
Popatrzmy teraz na równoległobok w podstawie. Łatwo sprawdzić, że trójkąt o bokach 32, 34 i jest rozwartokątny, więc podana długość przekątnej równoległoboku jest długością jego dłuższej przekątnej (na naszym rysunku przekątnej ). Możemy więc łatwo obliczyć cosinus kąta rozwartego równoległoboku – piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie .
To z kolei pozwala obliczyć długość drugiej przekątnej równoległoboku – piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie .
To oznacza, że trójkąt jest trójkątem równoramiennym i jego wysokość opuszczona z wierzchołka ma długość
Możemy teraz w końcu obliczyć wysokość ostrosłupa – patrzymy na trójkąt prostokątny .
Pozostało obliczyć długość krawędzi – patrzymy na trójkąt prostokątny .
Odpowiedź: