Zadanie nr 9921746

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest czworokąt ABCD . Przekątna tego czworokąta ma długość √ -- 5 2 , a kąt ADC ma miarę 13 5∘ . Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość 13. Oblicz sumę odległości spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznych , , i .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od naszkicowania opisanej sytuacji.

Zauważmy jeszcze, że z informacji o tym, że wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość wynika, że trójkąty prostokątne AES ,BES ,CES i DES są przystające, więc AE = BE = CE = DE , co z kolei oznacza, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie ABCD .

Skupmy się teraz na obliczeniu promienia okręgu opisanego na czworokącie ABCD . Zrobimy to korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie ACD (bo okrąg opisany na czworokącie ABCD jest też okręgiem opisanym na trójkącie ACD ).

AC AC AC 5√ 2- 2R = -------- = ----------------= -------= -√---= 10. sin 135∘ sin (180∘ − 45∘) sin45 ∘ -22

Zatem R = 5 . To pozwala obliczyć wysokość ostrosłupa

∘ ---------- ∘ --------- √ ---- H = AS 2 − R2 = 132 − 52 = 144 = 12.

Niech będzie rzutem spodka wysokości na krawędź . Jak już zauważyliśmy wcześniej, trójkąty AES ,BES ,CES i DES są przystające, więc interesująca nas suma odległości punktu od krawędzi bocznych jest równa 4EF . Długość odcinka obliczamy porównując dwa wzory na pole trójkąta prostokątnego AES .