/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2021
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CKE)
poziom rozszerzony 10 marca 2021 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Liczba jest równa
A) B) C) D)
Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest 10 kul: 8 białych i 2 czarne, w drugiej jest 8 kul: 5 białych i 3 czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe
A) B) C) D)
Prosta dana równaniem jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji
w punkcie
A) B) C) D)
Liczba jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie . Liczba jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie . Wynika stąd, że liczba jest równa
A) 0 B) C) D) 3
Zadania otwarte
Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa 13 i żadna cyfra nie jest zerem.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej większej od 2 i dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność .
Rozwiąż równanie
Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego zbudowano kwadrat .
Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy . Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa .
Czworokąt jest wpisany w okrąg o promieniu . Przekątna tego czworokąta ma długość 10. Kąty wewnętrzne i czworokąta są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy . Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.
Reszty z dzielenia wielomianu przez dwumiany i są odpowiednio równe oraz . Oblicz resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian .
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny . Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 4, a wysokość graniastosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek).
Oblicz sinus kąta .
Czterowyrazowy ciąg jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu .
Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: , , , , gdzie liczba rzeczywista spełnia warunki: i . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których pole tego równoległoboku jest równe 1.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie dwa różne rozwiązania dodatnie.
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem dla . Punkt ma współrzędne , a punkty i , są położone symetrycznie względem osi (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków i , dla których pole trójkąta jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.