/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 2368306

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trójkąty ABC i ADE są równoboczne (zobacz rysunek). Punkty A ,D i C leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i M są środkami odcinków AB ,CE i CD . Wykaż, że |∡KLM | = 60∘ .

PIC

Rozwiązanie

Zauważmy, że proste AE i BC są równoległe (bo przecinają prostą AC pod tym samym kątem). To oznacza, że czworokąt ABCE jest trapezem, a odcinek KL łączy środki jego ramion. Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa (lub znanej własności trapezu) odcinek KL jest równoległy do podstaw tego trapezu, czyli KL ∥ AE .

Odcinek LM łączy środki boków trójkąta EDC , więc jest równoległy do podstawy ED tego trójkąta.

Uzasadniliśmy więc, że kąt między odcinkami KL i LM jest taki sam jak kąt między odcinkami AE i ED , czyli jest równy 60∘ .

Wersja PDF