Zadanie nr 3315086

W trójkąt równoboczny ABC wpisano trójkąt DEF (patrz rysunek), tak że |AD | = |BE | = |CF | . Udowodnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty ADF ,BED ,CF E mają kąt mierze 6 0∘ oraz odcinki przylegające do tego kąta w każdym z trójkątów mają tę samą długość. To oznacza, że trójkąty te są przystające. Zatem

DE = EF = F D ,

czyli trójkąt DEF jest równoboczny.

Sposób II

Niech będzie środkiem trójkąta ABC , a obrotem płaszczyzny o kąt ∘ 120 wokół punktu .

Zauważmy, że obrót przekształca odcinek na odcinek . Ponadto punkt zostanie przekształcony na punkt odcinka , który jest w odległości od punktu , czyli na punkt . Analogicznie uzasadniamy, że przekształca na i na . To jednak oznacza, że trójkąt DEF przechodzi na siebie przy obrocie o ∘ 120 , musi to więc być trójkąt równoboczny (bo np. wszystkie jego boki muszą mieć tę samą długość).