/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 5152824

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 2 9 cm . Oblicz pole koła opisanego na tym sześciokącie.

Rozwiązanie

Sześciokąt składa się z sześciu przystających trójkątów równobocznych, oznaczmy ich bok przez a .

PIC

Jeżeli narysujemy sobie obrazek, to widać, że promień okręgu opisanego na sześciokącie jest równy a , a promień okręgu wpisanego to wysokość trójkąta równobocznego.

Sposób I

Z powyższej uwagi mamy równanie.

( √ --)2 a 3 π ----- = 9 2 a√ 3- 3 -----= √--- 2 π -- 6 2√ 3 a = √---- = √---. 3 π π

Zatem pole koła opisanego wynosi

12 πa 2 = π ⋅ ---= 12. π

Sposób II

Jak już zauważyliśmy, stosunek promieni kół opisanego i wpisanego jest równy

√ -- --a√- = √2--= 2--3. a-3- 3 3 2

Zatem stosunek pól tych kół jest kwadratem tej liczby

12- 4- 9 = 3.

Tak więc pole koła opisanego jest równe

4- 3 ⋅9 = 12 .

 
Odpowiedź: 12 cm 2

Wersja PDF