Zadanie nr 6365525
Trapez równoramienny o ramieniu długości 7 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa trapezu, o długości 14, jest średnicą tego okręgu. Przekątne i trapezu przecinają się w punkcie . Oblicz długość okręgu wpisanego w trójkąt .
Rozwiązanie
Narysujmy opisaną sytuację.
Sposób I
Ponieważ podstawa jest średnicą okręgu, trójkąt jest prostokątny, skąd
Obliczmy teraz wysokość trójkąta (a więc również wysokość trapezu). Porównujemy dwa wzory na pole (inny sposób to wykorzystać podobieństwo trójkątów i ).
Obliczamy teraz długość drugiej postawy trapezu. Z trójkąta prostokątnego mamy
Zauważmy teraz, że trójkąty i są podobne (bo mają równe kąty) oraz znamy skalę ich podobieństwa: . W takim razie
Łatwo też obliczyć pole trójkąta .
Promień okręgu wpisanego w trójkąt obliczamy korzystając ze wzoru na pole
gdzie
jest połową obwodu trójkąta . Mamy zatem
Długość okręgu jest więc równa
Sposób II
Zanim zabierzemy się za rachunki przyjrzyjmy się dokładniej sytuacji opisanej w treści zadania. Zauważmy, że każdy z trójkątów i jest równoramienny:
To w połączeniu z długością ramienia trapezu równą 7 oznacza, że każdy z tych dwóch trójkątów jest równoboczny. W takim razie równoboczny jest też trójkąt (bo oraz ). To oznacza, że dany trapez to połowa sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg. Jeżeli oznaczamy przez
długość wysokości w trójkącie równobocznym boku długości 7, to mamy
W takim razie pole i połowa obwodu trójkąta są równe
Promień i długość okręgu wpisanego w trójkąt obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: