/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 7897184

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 2 6 cm . Oblicz pole koła opisanego na tym sześciokącie.

Rozwiązanie

Sześciokąt składa się z sześciu przystających trójkątów równobocznych, oznaczmy ich bok przez a .

PIC

Jeżeli narysujemy obrazek, to widać, że promień okręgu opisanego na sześciokącie jest równy a , a promień okręgu wpisanego to wysokość trójkąta równobocznego.

Sposób I

Z powyższej uwagi mamy równanie.

( √ -) 2 a---3 π 2 = 6 / : π ( ) a√ 3- 2 6 ----- = -- / : √- 2 π √ -- √ -- a--3-= √--6 / ⋅√2-- 2 π 3 √ -- a = 2√--2. π

Zatem pole koła opisanego wynosi

πa 2 = π ⋅ 8-= 8. π

Sposób II

Jak już zauważyliśmy, stosunek promieni kół opisanego i wpisanego jest równy

√ -- --a√- = √2--= 2--3. a-3- 3 3 2

Zatem stosunek pól tych kół jest kwadratem tej liczby

12 4 -9-= 3.

Tak więc pole koła opisanego jest równe

4- 3 ⋅ 6 = 8.

 
Odpowiedź: 8 cm 2

Wersja PDF