Zadanie nr 1654469
Dla jakich wartości parametru równanie
ma rozwiązania, których suma jest dodatnia?
Rozwiązanie
Jedno rozwiązanie podanego równania widać od ręki: . Dzieląc przez
pozostaje nam równanie kwadratowe
![mx 2 − (2m + 1)x + (2 − 3m ) = 0.](https://img.zadania.info/zad/1654469/HzadR2x.gif)
Pytanie z treści zadania sprowadza się do pytania kiedy powyższe równanie kwadratowe ma pierwiastki o dodatniej sumie?
Jezeli równanie jest liniowe, czyli , to mamy
![−x + 2 = 0 ⇒ x = 2](https://img.zadania.info/zad/1654469/HzadR4x.gif)
i jest OK.
Jezeli mamy równanie kwadratowe, to sprawdźmy kiedy ma ono pierwiastki
![2 0 ≤ Δ = (2m + 1) − 4m (2 − 3m ) = = 4m 2 + 4m + 1 − 8m + 12m 2 = 16m 2 − 4m + 1 Δm = 16 − 64 < 0 .](https://img.zadania.info/zad/1654469/HzadR5x.gif)
Równanie ma więc zawsze dwa pierwiastki. Kiedy ich suma jest dodatnia? – na mocy wzorów Viète’a ich suma jest równa
![( 1) ( ) 2m + 1 2 m + 2 1 0 < --m---- = -----m----- ⇒ m ∈ −∞ ,− 2- ∪ (0,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/1654469/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: