/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3

Zadanie nr 1798017

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wielomian 3 2 W (x) = x + ax + bx+ 64 ma trzy pierwiastki: x1,x2,x3 , przy czym x 2 = − 2x1 i x3 = 4x 1 . Wyznacz a i b .

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli pierwiastkami wielomianu W (x) są liczby x ,− 2x ,4x 1 1 1 , to musi on mieć postać

W (x) = m(x − x1)(x+ 2x1)(x − 4x1).

Mamy w takim razie równość

3 2 x + ax + bx+ 64 = m (x − x1)(x + 2x 1)(x− 4x1).

Z prawej strony po wymnożeniu współczynnik przy x3 będzie równy m , więc musi być m = 1 . Pozostaje więc równość

x 3 + ax 2 + bx + 64 = (x − x1)(x + 2x 1)(x− 4x1).

Wymnażamy teraz prawą stronę

(x − x1)(x + 2x 1)(x− 4x1) = (x 2 + 2xx 1 − xx1 − 2x21)(x − 4x 1) = 2 2 3 2 2 2 2 3 = (x + xx 1 − 2x1)(x − 4x1) = x + x x1 − 2xx1 − 4x x 1 − 4xx 1 + 8x1 = = x 3 − 3x 2x − 6xx2 + 8x 3. 1 1 1

Mamy zatem

3 2 3 2 2 3 x + ax + bx + 64 = x − 3x x1 − 6xx1 + 8x 1.

Porównując wyrazy wolne otrzymujemy x1 = 2 . Wtedy porównując współczynniki przy x2 i x otrzymujemy a = − 6 i b = − 24 .

Sposób II

Korzystamy ze wzorów Viète’a dla równania

3 2 x + ax + bx + 64 = 0.

Mają one postać

( |{ −a = x1 + x2 + x3 = x 1 − 2x 1 + 4x 1 = 3x1 b = x1x 2 + x 2x 3 + x 3x1 = − 2x21 − 8x12+ 4x 21 = − 6x21 |( 3 − 64 = x1x 2x3 = − 8x1.

Z trzeciego równania mamy x1 = 2 , wtedy z dwóch poprzednich równań a = −6 i b = − 24 .  
Odpowiedź: (a,b) = (− 6,− 24)

Wersja PDF