Zadanie nr 1832123

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

3 x + (m − 1)x − m = 0

ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste. Dla otrzymanych wartości wyznacz te pierwiastki.

Rozwiązanie

Jeżeli równanie stopnia 3 ma mieć dwa pierwiastki rzeczywiste, to jeden z nich musi być podwójny.

Sposób I

Lewa strona równania musi mieć postać

(x− a)2(x− b ) = (x2− 2ax + a 2)(x− b) = x3− (2a + b)x2 + (a2+ 2ab)x− a2b.

Otrzymujemy stąd układ równań

(| 2a + b = 0 { m − 1 = a2 + 2ab |( m = a2b.

Z pierwszego równania mamy b = −2a . Podstawiamy tę wartość do dwóch pozostałych równań.

{ 2 2 2 m − 1 = a − 4a = − 3a m = − 2a3.

Zauważmy teraz, że jeżeli w drugim równaniu a = 0 , to m = 0 . Ale wtedy z pierwszego równania m = 1 , co jest sprzeczne z tym, że m = 0 . Zatem a ⁄= 0 , m ⁄= 0 i m ⁄= 1 i możemy podzielić stronami drugie równanie przez pierwsze.

--m--- 2- --3m----- m − 1 = 3 a ⇒ a = 2(m − 1) .

Podstawiamy teraz to wyrażenie np. do drugiego równania.

3 27 m 3 4 (m − 1)3 m = − 2a = − 2⋅ ---⋅--------3 / ⋅---------- 8 (m − 1) m 4 (m − 1)3 = − 27m 2.

W tym miejscu można dostrzec, że jednym z rozwiązań jest m = − 2 , przyda nam się to za chwilę. Przekształcamy równanie dalej.

4(m 3 − 3m 2 + 3m − 1)+ 27m 2 = 0 3 2 4m + 1 5m + 12m − 4 = 0.

W tym miejscu jesteśmy zmuszeni znaleźć przynajmniej jeden pierwiastek tego równania. Jeżeli nie zauważyliśmy wcześniej, że jednym z pierwiastków jest m = − 2 , to znajdujemy go teraz sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego. Dzielimy teraz lewą stronę przez m + 2 . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 4m + 15m + 1 2m − 4 = (4m + 8m ) + (7m + 14m )− (2m + 4 ) = = 4m 2(m + 2) + 7m (m + 2)− 2(m + 2 ) = (4m 2 + 7m − 2)(m + 2).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.

Δ = 49 + 32 = 81 m = −-7-−-9 = − 2 lub m = −7-+-9-= 1-. 8 8 4

Jeżeli m = − 2 , to 3m a = 2(m−-1) = 1 i b = − 2a = − 2 . Jeżeli natomiast 1 m = 4 , to

---3m---- --34- 1- a = 2(m − 1) = − 6= − 2 4

i b = − 2a = 1 .

Sposób II

Tak jak poprzednio zauważamy, że równanie musi mieć jeden pierwiastek podwójny x1 = x 2 = a i jeden pojedynczy x 3 = b . Korzystamy ze wzorów Viète’a dla równania stopnia 3.

( |{ 0 = x1 + x2 + x3 = 2a + b m − 1 = x1x2 + x2x3 + x3x 1 = a2 + ab |( 2 m = x1x2x3 = a b.

Układ równań rozwiązujemy tak samo jak w poprzednim sposobie.

Sposób III

Korzystamy z prostego do udowodnienia faktu, że pierwiastek podwójny wielomianu jest też pierwiastkiem jego pochodnej. Jeżeli więc jest pierwiastkiem podwójnym danego równania, to

{ a3 + (m − 1)a− m = 0 2 3a + (m − 1) = 0

Z drugiego równania mamy

m = 1− 3a2.

Podstawiamy to wyrażenie do pierwszego równania

a3 − 3a3 + 3a2 − 1 = 0

Gołym okiem widać, że jednym z pierwiastków jest a = 1 :

a3 − 3a3 + 3a2 − 1 = (a3 − 1)− 3(a3 − a2) = (a− 1)(a2 + a+ 1)− 3a2(a− 1) = 2 2 2 = (a − 1)(a + a+ 1− 3a ) = − (a− 1)(2a − a− 1).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie

Δ = 1 + 8 = 9 1 − 3 1 1+ 3 a = ------= − -- lub a = ------= 1. 4 2 4

Zatem a = 1 lub 1 a = − 2 . Mamy wtedy odpowiednio 2 m = 1 − 3a = − 2 i m = 1 − 3a2 = 14 . To jeszcze nie jest całkiem koniec, w każdym z tych przypadków musimy wyznaczyć drugi pierwiastek równania. Jeżeli m = − 2 , to

x3 + (m − 1 )x− m = x3 − 3x + 2 = (x3 − x2) + (x2 + x) − (2x − 2 ) = 2 = (x− 1)(x + x − 2) = (x − 1)(x − 1 )(x + 2).

Jeżeli natomiast 1 m = 4 , to

( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 x + (m − 1 )x− m = x − -x − --= x + -x − --x + -x − -x + -- = ( 4 ) ( 4 2) ( 2 ) (4 ) 2 4 1- 2 1- 1- 1- 1- = x + 2 x − 2 x− 2 = x + 2 x + 2 (x − 1).

Sposób IV

Zauważmy, że zawsze x = 1 jest pierwiastkiem danego równania, więc możemy podzielić jego lewą stronę przez (x − 1) . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 3 2 2 x + (m − 1 )x− m = (x − x )+ (x − x)+ (mx − m) = = x2(x − 1)+ x(x − 1) + m (x − 1) = (x − 1)(x 2 + x + m ).

Mamy teraz dwie możliwości: albo wielomian kwadratowy w nawiasie ma dwa pierwiastki i jeden z nich jest równy 1, albo ten wielomian ma jeden pierwiastek różny od 1.

Sprawdźmy najpierw, kiedy x = 1 jest pierwiastkiem tego trójmianu