Zadanie nr 2570070

Równanie 3 2 x + mx + nx + 64 = 0 ma trzy pierwiastki będące kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie − 2 . Wyznacz i .

Rozwiązanie

Wiemy, że dane równanie ma trzy pierwiastki postaci: a ,−2a ,4a .

Sposób I

Wielomian z lewej strony równania musi mieć postać

(x − a)(x + 2a)(x − 4a ).

Mamy więc równość

x 3 + mx 2 + nx + 64 = (x − a)(x + 2a)(x − 4a ) = 2 2 = (x + ax − 2a )(x − 4a ) = = x3 + ax2 − 2a2x − 4ax 2 − 4a2x + 8a3 = = x3 − 3ax 2 − 6a 2x + 8a3.

Porównując wyrazy wolne mamy

3 64 = 8a ⇒ a = 2.

Porównując teraz współczynniki przy i 2 x otrzymujemy n = −2 4 i m = − 6 .

Sposób II

Korzystamy ze wzorów wzorów Viète’a dla równania

3 2 x + mx + nx + 64 = 0

Mają one postać

( | −m = x + x + x = a − 2a + 4a = 3a { 1 2 3 | n = x1x2 + x2x3 + x3x1 = − 2a 2 − 8a 2 + 4a 2 = − 6a2 ( − 64 = x x x = a ⋅(− 2a)⋅ 4a = − 8a3. 1 2 3

Z ostatniego równania mamy a = 2 . Wtedy z dwóch pierwszych równań mamy m = − 6 i n = − 24 .
Odpowiedź: (m ,n) = (−6 ,−2 4)