/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3

Zadanie nr 3037358

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania x3 + m 3x2 − m 2x− 1 = 0 jest liczba 1.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposob I

Po pierwsze sprawdzamy, kiedy x = 1 jest rzeczywiście pierwiastkiem podanego wielomianu.

1+ m 3 − m 2 − 1 = 0 ⇒ m2(m − 1) = 0.

Widzimy zatem, że m = 0 lub m = 1 . Dla m = 0 mamy wielomian

x 3 − 1 = (x− 1)(x2 + x + 1).

Łatwo sprawdzić (z Δ -y), że wielomian w nawiasie nie ma pierwiastków, czyli m = 0 jest ok.

Dla m = 1 mamy wielomian

3 2 x + x − x − 1.

W tym miejscu mamy wiele możliwości, możemy go podzielić przez (x − 1) , możemy sprawdzić, że drugi dzielnik wyrazu wolnego, czyli -1 też jest pierwiastkiem, możemy wreszcie rozłożyć wielomian bezpośrednio

3 2 x + x − x − 1 = = x 2(x+ 1)− (x+ 1) = (x2 − 1)(x + 1) = 2 = (x − 1 )(x+ 1)(x+ 1) = (x − 1)(x + 1)

Tak czy inaczej, x = 1 nie jest jedynym pierwiastkiem.

Sposób II

Dzielimy z resztą podany wielomian przez (x − 1) (na razie nie należy przejmować się parametrem m ). Tak jak poprzednio robimy to grupując wyrazy (chociaż najprościej byłoby schematem Hornera):

x3 + m 3x2 − m2x − 1 = 3 2 2 3 2 2 = (x − x ) + x + m x − m x− 1 = = x2(x − 1) + (m 3 + 1)(x2 − x) + (m 3 + 1 )x− m2x − 1 = 2 3 3 2 3 2 = x (x − 1) + (m + 1)x(x − 1) + (m + 1− m )(x − 1 )+ m + 1− m − 1 = (x − 1)(x2 + (m 3 + 1)x + m 3 + 1 − m 2) + m 3 − m2.

Widać teraz, że x = 1 jest pierwiastkiem tylko wtedy, gdy reszta m 3 − m 2 jest równa 0, czyli dla m = 0 lub m = 1 .

Dla m = 0 , z powyższego dzielenia mamy:

3 2 x − 1 = (x − 1)(x + x + 1)

i wielomian 2 x + x + 1 nie ma pierwisatków.

Dla m = 1 mamy

x 3 + x 2 − x − 1 = (x− 1)(x2 + 2x + 1) = (x − 1 )(x+ 1)2

i x = 1 nie jest jedynym pierwiastkiem.  
Odpowiedź: m = 0

Wersja PDF