/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3

Zadanie nr 3607521

Dane są liczby wymierne a ⁄= 0, b i k > 0 takie, że liczby √ -- x1 = 1 − k i √ -- x2 = 1+ k są pierwiastkami równania ax 3 + bx 2 + cx+ d = 0 . Wykaż, że c i d są liczbami wymiernymi.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wielomian po lewej stronie równania musi mieć rozkład postaci

3 2 √ -- √ -- ax + bx + cx + d√=-a (x− (1− √ k))(x− (1+ k))(x− x3) =√ -- = a((x − 1 )+ k)((x − 1 )− k )(x − x ) = a((x − 1)2 − ( k)2)(x − x ) 3 3 = a(x 2 − 2x + 1− k)(x− x3)

dla pewnej liczby rzeczywistej x3 . Zauważmy, że po wymnożeniu nawiasów z prawej strony otrzymamy wielomian, którego współczynnik przy x2 jest równy

−ax 3 − 2a.

Z drugiej strony (patrząc na lewą stronę tej równości) jest on równy b , co daje równanie

− ax3 − 2a = b −-2a−--b- x3 = a .

Powyższa równość oznacza, że x3 jest również liczbą wymierną. To z kolei oznacza, że wielomian

2 a(x − 2x + 1 − k)(x − x3)

ma wszystkie współczynniki wymierne, czyli c i d są liczbami wymiernymi.

Sposób II

Wielomian stopnia 3 ma zawsze 1 lub 3 pierwiastki rzeczywiste (licząc z krotnościami), więc dane równanie musi mieć 3 pierwiastki x1,x2,x 3 . Możemy więc zastosować wzory Viète’a dla równania stopnia 3.

( | x 1 + x 2 + x 3 = − b { a -c | x 1x2 + x2x3 + x3x1 = a ( x 1x2x3 = − d. a

Zauważmy teraz, że pierwsza równość oznacza iż

b b x 3 = − a-− (x1 + x2) = − a-− 2

jest liczbą wymierną. Pozostałe dwie równości możemy zapiać w postaci

{ √ -- √ -- c (1− √ k-)(1+ √ k)+ x 3(x1 + x2) = a (1− k )(1+ k)x3 = − d { a 1− k + 2x 3 = c ad (1− k )x3 = − a.

Powyższe równości dowodzą, że c i d są liczbami wymiernymi.

Wersja PDF