Zadanie nr 4706101

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których pierwiastki wielomianu W (x) = x3 + (m − 6)x 2 + (m − 7)x tworzą ciąg arytmetyczny.

Rozwiązanie

Jeden pierwiastek danego równania widać gołym okiem – jest to x = 0 . Pozostałe pierwiastki są pierwiastkami równania kwadratowego

x 2 + (m − 6)x + (m − 7) = 0.

Sprawdźmy kiedy to równanie ma rozwiązania

2 2 Δ = (m − 6) − 4(m − 7) = m − 12m + 36− 4m + 2 8 = 2 2 = m − 16m + 64 = (m − 8) .

Równanie kwadratowe ma więc zawsze pierwiastki, przy czym dla m = 8 równanie ma postać

x2 + 2x+ 1 = (x + 1)2

i ma tylko jedno rozwiązanie x = − 1 . Dwie liczby i x = 0 tworzą ciąg arytmetyczny (o różnicy r = 1 ), więc m = 8 spełnia warunki zadania.

Jeżeli natomiast m ⁄= 8 , to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania x1,x 2 i na mocy wzorów Viète’a spełniają one warunki

{ x1 + x2 = −(m − 6) = 6 − m x1x 2 = m − 7 .

Nadal jednak nie wiemy, czy wyjściowe równanie ma dwa czy trzy pierwiastki – to zależy od tego, czy x = 0 jest pierwiastkiem równania kwadratowego. Taka sytuacja ma miejsce tylko dla m = 7 – wtedy równanie kwadratowe ma postać

0 = x2 + x = x(x + 1)

i jedyne niezerowe rozwiązanie to x = − 1 . Podobnie jak w przypadku m = 8 , w tej sytuacji też są spełnione warunki zadania.

Pozostał najciekawszy przypadek, gdy wyjściowe równanie ma trzy różne pierwiastki: 0,x1,x2 . Nadal nie wiemy w jakiej kolejności te liczby mają tworzyć ciąg arytmetyczny – tak naprawdę są dwie możliwości: albo x = 0 jest pomiędzy i , albo x = 0 jest skrajnym wyrazem ciągu. W pierwszym przypadku mamy

2⋅ 0 = x + x = 6 − m ⇐ ⇒ m = 6 . 1 2

W drugim przypadku, możemy założyć, że arytmetyczny jest ciąg (0 ,x ,x ) 1 2 (jeżeli x = 0 jest trzecim wyrazem ciągu, to możemy ustawić te trzy liczby w odwrotnej koejności i też otrzymamy ciąg arytmetyczny). Mamy wtedy