Zadanie nr 9164524

Pierwiastkami wielomianu 3 2 W (x ) = x − x + ax + b są tylko dwie liczby: 2 oraz (-3).

Rozwiązanie

Ponieważ , mamy układ równań
${ 8− 4+ 2a+ b = 0 { − 27− 9− 3a+ b = 0 2a+ b = − 4 − 3a+ b = 36$

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ), otrzymujemy , czyli . Stąd .
Odpowiedź: ,
Sposób I

Wiemy, że 2 i (-3) są pierwiastkami, dzielimy więc wielomian

$W (x) = x3 − x2 − 8x + 1 2$

przez . My zrobimy to grupując czynniki

$x 3 − x 2 − 8x + 12 = 3 2 2 2 x + x − 6x − x + 6x− x − 8x + 12 = x (x2 + x− 6)− 2x2 − 2x + 12 = 2 (x + x − 6 )(x − 2) = (x − 2 )(x + 3)(x− 2).$

Sposób II

Skoro wiemy, że dany wielomian nie ma innych pierwiastków niż 2 i (-3), wystarczy sprawdzić, który z nich jest podwójny. Robi się to bardzo prosto przy pomocy pochodnej – pierwiastki wielokrotne są też pierwiastkami pochodnej. Fakt ten to proste zadanie na wzór na pochodną iloczynu. Liczymy

$′ 2 W (x ) = 3x − 2x − 8.$

Łatwo sprawdzić, że , co oznacza, że 2 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu .
Odpowiedź: