/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2022

Dowody w geometrii podobieństwo II

Zadanie 1

Prosta przechodząca przez wierzchołek A równoległoboku ABCD przecina jego przekątną BD w punkcie E i bok BC w punkcie F , a prostą DC w punkcie G . Udowodnij, że

|EA |2 = |EF| ⋅|EG |.

Zadanie 2

W trapezie ABCD (AB ∥ DC ) przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O takim, że |AO | : |OC | = 5 : 1 . Pole trójkąta AOD jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest równe 72.

PIC

Zadanie 3

Na bokach AB ,BC ,CA trójkąta równobocznego ABC wybrano kolejno punkty D ,E ,F tak, że DE ⊥ AB , EF ⊥ BC i F D ⊥ AC .

PIC

Wykaż, że trójkąt DEF jest trójkątem równobocznym o polu trzy razy mniejszym od pola trójkąta ABC .

Zadanie 4

W trójkącie równobocznym ABC połączono środki wysokości otrzymując trójkąt P QR . Wykaż, że stosunek pola trójkąta P QR do pola trójkąta ABC jest równy 1- 16 .

Zadanie 5

Na bokach AC i BC trójkąta ABC obrano punkty P i Q takie, że |AP | : |PC | = 2 : 1 oraz |BQ | : |QC | = 2 : 1 . Odcinki AQ i BP przecinają się w punkcie R . Wykaż, że pole czworokąta CP RQ jest równe polu trójkąta ARP .

Zadanie 6

Odcinki DH i EI są równoległe do boku BC trójkąta ABC , a odcinki DF i EG są równoległe do boku AC . Uzasadnij, że jeżeli |CF|= |CH| |FG | |HA| , to |AD |2 = |DE |⋅|DB | .

PIC

Zadanie 7

Dany jest trójkąt ABC . Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D,E i F tak, że |AD | = |DE | = |EF | = 2|FB | . Na bokach AC i BC obrano – odpowiednio – punkty G i H tak, że DG ∥ EC oraz FH ∥ EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta F BH jest równe S , to pole trójkąta ADG jest równe 3S .

PIC

Zadanie 8

Na bokach AB i AC trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty K i L w ten sposób, że |BK | = |AL | . Punkt D jest środkiem odcinka BC . Przez punkty K i L poprowadzono proste równoległe do AD , które wyznaczyły na boku BC punkty E i F odpowiednio (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli |BC | = 2|EF | , to |AB | = |AC | .

PIC

Zadanie 9

Na ramionach AC i BC trójkąta równoramiennego ABC wybrano punkty P i Q w ten sposób, że odcinek PQ jest równoległy do podstawy AB i styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe

∘ ------------ |AB-|2--|AB-|⋅|P-Q-| 2(|AB |− |P Q |) .

Zadanie 10

Punkt E jest środkiem boku BC prostokąta ABCD , w którym AB > BC . Punkt F leży na boku CD tego prostokąta oraz ∡AEF = 90 . Udowodnij, że ∡BAE = ∡EAF .

Zadanie 11

Przekątne trapezu przecinają się w punkcie S . Przez punkt S poprowadzono prostą równoległą do podstaw trapezu, która przecina ramiona trapezu w punktach E i F . Wykaż, że |ES| = |SF | .

Zadanie 12

W trapezie prostokątnym ABCD (rysunek) punkt K jest punktem przecięcia wysokości DE i przekątnej AC tego trapezu. Wiedząc, że |CB | = |CD | = a i |AB | = b wykaż, że pole P czworokąta EBCK jest równe 2 3 P = 2ab2−ba-- .

PIC

Zadanie 13

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | = 6 , a punkt D jest środkiem podstawy AB . Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M . Punkt K leży na boku AC , punkt L leży na boku BC , odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC | = |LC | = 2 (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |AM | |MC-|-= 45 .

Wersja PDF
Rozwiązania