/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2022
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 19 marca 2022 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Odległość liczby od liczby
na osi liczbowej jest równa
A) B)
C)
D)
Granice i
są równe. Stąd wynika, że
A) i
B)
i
C)
i
D)
i
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji określonej dla każdej liczby rzeczywistej
.
Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji .
A) B)
C) D)
Suma szeregu geometrycznego jest równa
A) B)
C)
D)
Zadania otwarte
Reszta z dzielenia wielomianu przez
jest równa 7. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu
przez wielomian
.
Niech . Wykaż, że
.
Dany jest trójkąt . Na boku
tego trójkąta obrano punkty
i
tak, że
. Na bokach
i
obrano – odpowiednio – punkty
i
tak, że
oraz
(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta
jest równe
, to pole trójkąta
jest równe
.
Liczby i
są pierwiastkami równania
. Wykaż, że wartość wyrażenia

jest liczbą wymierną.
Wykaż, że wszystkie trójkąty ograniczone osiami układu współrzędnych i dowolną styczną do wykresu funkcji , określonej dla
, mają równe pola.
Dane są dwa okręgi o równaniach i
,
. Wyznacz wszystkie wartości parametru
, dla których te okręgi mają jeden punkt wspólny.
W pewnym wagonie kolejowym pasażerowie siadają w sposób losowy na 54 siedzeniach, które są ustawione po trzy siedzenia w jednym rzędzie. Do wagonu wsiadło o 3 pasażerów mniej niż dostępna liczba siedzeń i dokładnie troje z tych pasażerów to mężczyźni. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że mężczyźni usiedli w jednym rzędzie i jednocześnie jeden cały rząd pozostał pusty.
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste , które spełniają równanie

Na okręgu jest opisany czworokąt . Bok
tego czworokąta jest trzy razy krótszy od przekątnej
, a bok
ma długość 10. Ponadto spełnione są następujące warunki:

Oblicz długość boku tego czworokąta.
Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt . Przekątna ściany bocznej ma długość
.
- Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
- Oblicz cosinus kąta między krótszymi przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości
. Punkty
,
i
należą do boków
,
i
, przy czym
.
- Wyraź pole trójkąta
jako funkcję zmiennej
. Wyznacz dziedzinę tej funkcji.
- Wyznacz wartość
, dla której pole trójkąta
jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.