/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2022

Dowody w geometrii twierdzenie cosinusów poziom rozszerzony

Zadanie 1

Pole trójkąta ABC jest równe S , a długości jego boków AC i BC są odpowiednio równe b i a . Na bokach AC i BC zbudowano kwadraty o środkach odpowiednio D i E .

PIC

Wykaż, że

2 2 DE 2 = a--+-b- + 2S . 2

Zadanie 2

Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby naturalne n takie, że trójkąt o bokach n ,n+ 2,n + 3 jest rozwartokątny.

Zadanie 3

Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta to a2 + b 2 > 1c2 2 .

Zadanie 4

Kąt ostry równoległoboku ma miarę 6 0∘ . Stosunek kwadratów długości przekątnych jest równy 1 3 . Wykaż, że ten równoległobok jest rombem.

Zadanie 5

Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.

Zadanie 6

Kąt ostry rombu ABCD ma miarę |∡A | = 60∘ . Na bokach AB i BC wybrano punkty K i L w ten sposób, że |AK | = |BL | . Uzasadnij, że trójkąt KLD jest trójkątem równobocznym.

Zadanie 7

Wykaż, że jeżeli długości a,b,c boków trójkąta spełniają równość

--1---+ --1-- = ----3----, a+ b b + c a+ b+ c

to promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy √- b33- .

Zadanie 8

Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie S . Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABS jest o 1 większy od promienia okręgu opisanego na trójkącie CDS , a długości podstaw trapezu spełniają warunek |AB | = |CD |+ 1 . Wykaż, że

|AS |2 + |BS |2 = |AB |2 + √ 3⋅|AS |⋅ |BS |.

Zadanie 9

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że |BD | = |AE | = 1|AB | 3 . Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Zadanie 10

W trójkącie ostrokątnym ABC prawdziwa jest równość |BC |2 − |AC |2 = |AB |⋅|AC | . Wykaż, że kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC .

Zadanie 11

Czworokąt ABCD jest trapezem o podstawach AB i CD . Wykaż że

|AC |2 + |BD |2 = |AD |2 + |BC |2 + 2|AB |⋅|DC |.

Zadanie 12

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg oraz pola trójkątów ABC i ADC są równe. Wykaż, że

|AB |2 + |BC |2 + |CD |2 + |DA |2 = 2|AC |2.

Zadanie 13

Dany jest czworokąt wypukły ABCD , w którym: |AB | = |BC | , |∡DAB | = 4 5∘ , |∡ABC | = 150∘ , |∡BCD | = 60∘ . Wykaż, że trójkąt BCD jest równoboczny.

Wersja PDF
Rozwiązania