/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2022

Dowody w geometrii czworokąty i okręgi poziom rozszerzony

Zadanie 1

W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę ∘ 50 , a kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę 60 ∘ . Okrąg przechodzi przez punkt i przecina boki i trójkąta odpowiednio w punktach i . Okrąg o 2 przechodzi przez punkt , przecina okrąg o 1 w punkcie oraz w punkcie leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg przecina bok trójkąta w punkcie .

Udowodnij, że na czworokącie CEF G można opisać okrąg.

Zadanie 2

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Uzasadnij, że środki tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, w który można wpisać okrąg.

Zadanie 3

Okrąg przechodzący przez końce przyprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC przecina drugą przyprostokątną oraz przeciwprostokątną tego trójkąta odpowiednio w punktach i . Wykaż, że promień okręgu opisanego na trójkącie AF E jest równy 1 2|AE | .

Zadanie 4

Miary kątów trójkąta ABC są równe α = |∡BAC | , β = |∡ABC | i γ = |∡ACB | . Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki i przecinają boki i tego trójkąta w punktach odpowiednio i (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli α + β = 2γ , to na czworokącie DCES można opisać okrąg.

Zadanie 5

Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkty i poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach A ,B ,C,D tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że AC ∥ BD .

Zadanie 6

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC | > |BC | . Dwusieczna kąta ACB przecina bok w punkcie . Punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta BAC , punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta ACB , a punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej d B kąta ABC (zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Zadanie 7

Punkt przyprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC zrzutowano na przeciwprostokątną otrzymując punkt . Wykaż, że |∡MAN | = |∡MCN | .

Zadanie 8

Odcinek jest wysokością przedstawionego na rysunku trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Punkt jest rzutem punktu wysokości na bok . Udowodnij, że ∡CAK = ∡KDL .

Zadanie 9

Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach i przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach i w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.

Zadanie 10

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD dzielą go na cztery trójkąty. Wykaż, że jeżeli promienie okręgów opisanych na tych czterech trójkątach są równe, to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Zadanie 11

W czworokącie wypukłym ABCD , długości boków AB ,BC ,AD ,DC są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że dwusieczne kątów wewnętrznych tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie.

Zadanie 12

Przeciwległe boki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punktach i (zobacz rysunek), przy czym odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta DEF , a odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta DF E . Wykaż, że |∡EDF | = 6 0∘ .

Zadanie 13

Udowodnij, że średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny, ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw trapezu.

Zadanie 14

Przez każde dwa sąsiednie wierzchołki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg poprowadzono okrąg (zobacz rysunek).

Wykaż, że punkty P ,Q,R ,S , w których przecinają się te okręgi, leżą na jednym okręgu.

Zadanie 15

W czworokącie wypukłym ABCD poprowadzono przekątną . Okręgi wpisane w trójkąty ABC i ACD są styczne zewnętrznie. Wykaż, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Zadanie 16

Trapez prostokątny ABCD o podstawach i jest opisany na okręgu o promieniu .

Wykaż, że .
Wiedząc, że pole trapezu jest równe 4 wykaż, że .

Zadanie 17

Na bokach BC ,AC i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D ,E i . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Wersja PDF