/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2022

Dowody w geometrii podobieństwo I

Zadanie 1

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S . Wykaż, że |SA |⋅|SD | = |SB| ⋅|SC | .

Zadanie 2

Przez środek D przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej AB . Prosta ta przecina proste AB i AC odpowiednio w punktach M i N . Wykaż, że |BC |2 = 4 ⋅|DN |⋅|DM | .

PIC

Zadanie 3

W trapezie ABCD punkt E jest środkiem ramienia BC . Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą ramię BC w punkcie E . Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |BF | = |CD | .

PIC

Zadanie 4

Uzasadnij, że jeżeli CD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC , w którym ∘ ∡ACB = 90 to 2 |AD |⋅|DB | = |CD | .

PIC

Zadanie 5

Punkty D i E są środkami boków CB i CA trójkąta ABC (zobacz rysunek). Wykaż, że odległość punktu B od prostej AD jest dwa razy większa od odległości punktu E od prostej AD .

PIC

Zadanie 6

Na okręgu o promieniu r wybrano punkty M i N w ten sposób, że proste AM i AN są styczne do okręgu. Punkt B jest punktem wspólnym odcinka MN i prostej łączącej A ze środkiem S tego okręgu. Wykaż, że |SA |⋅|SB | = r2 .

PIC

Zadanie 7

Przez wierzchołek C prostokąta ABCD poprowadzono prostą, która przecięła proste AB i AD w punktach K i L odpowiednio. Wykaż, że |AB| |AD| |AK| + |AL| = 1 .

PIC

Zadanie 8

W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki AD i DB (rysunek), przy czym |AD | = 16 i |DB | = 8 . Wykaż, że symetralna boku AB dzieli bok AC w stosunku 3:1.

PIC

Zadanie 9

Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną BC oraz 1 |DC | = 3|BD | (patrz rysunek). Wykaż, że |∡ABD | = 30∘ .

PIC

Zadanie 10

Przekątne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie S , a punkt E jest takim punktem przekątnej BD , że |∡DCS | = |∡BCE | (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |CD|⋅|CB| |CE | = --|CA|-- .

Zadanie 11

Pole kwadratu ABCD jest równe 16. Punkt E jest środkiem boku BC , a punkt S punktem przecięcia przekątnej BD kwadratu i odcinka AE . Wykaż, że odległość punktu S od boku AB jest równa 43 .

Zadanie 12

Punkt M jest punktem wspólnym przekątnych trapezu prostokątnego ABCD . Punkt N jest punktem wspólnym przekątnej BD i wysokości CE opuszczonej na dłuższą podstawę AB . Wykaż, że |DM |2 = |MN |⋅|MB | .

PIC

Zadanie 13

Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz 3 |CE | = 4|CD | . Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |CF | = 196|CB | .

Zadanie 14

W trapez ABCD wpisano okrąg o środku S . Okrąg ten jest styczny do ramion AD i BC tego trapezu w punktach odpowiednio P i Q (zobacz rysunek).

PIC

Uzasadnij, że trójkąt ASD jest prostokątny. Wykaż, że |AP |⋅|DP | = |BQ | ⋅|CQ | .

Zadanie 15

Dane są trzy okręgi o1 , o2 i o3 . Okręgi o1 , o2 są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o3 (patrz rysunek). Promienie okręgów o1 i o2 są odpowiednio równe r1 i r2 , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka EF jest równa √ ---- 4 r1r2 , gdzie odcinek EF jest cięciwą okręgu o3 i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów o1 i o2 .

PIC

Zadanie 16

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (M ⁄= A i M ⁄= C ), a na ramieniu BC wybrano punkt N , w taki sposób, że |AM | = |CN | . Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T . Udowodnij, że |ST | = 1|AB | 2 .

Wersja PDF
Rozwiązania