/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2022/Polygon Matematyczny

Dowody w geometrii trygonometria poziom rozszerzony

Zadanie 1

W półkole o promieniu r wpisano trapez równoramienny. Przekątna trapezu o długości k tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze α , a krótsza podstawa trapezu ma długość a . Uzasadnij, że cos α = a+-2r 2k .


PIC


Zadanie 2

Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą kąt 2α , a z ramieniem kąt α . Wykaż, że stosunek pól trójkątów, na które został podzielony trapez tą przekątną, jest równy sinsin5αα .

Zadanie 3

Wykaż, że jeśli α,β są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to tg α + tgβ ≥ 2 .

Zadanie 4

Pole trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równe S , a kąt ostry przy podstawie ma miarę α . Wykaż, że ramię tego trapezu ma długość ∘ ---- sSinα- .

Zadanie 5

Wykaż, że jeżeli kąty α,β,γ trójkąta ABC spełniają warunek cos α = 1−-cosγ- 2cosβ to trójkąt jest równoramienny.

Zadanie 6

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c , długość boku AC jest równa b oraz |∡BAC | = α . Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC trójkąta w punkcie D i odcinek AD ma długość d . Wykaż, że

 α d d co s--= ---+ --. 2 2b 2c

Zadanie 7

Wykaż, że jeżeli w trójkącie a √ -- b = 2 to  2 2 cos α = 2co s β − 1 .


PIC


Zadanie 8

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |AC | = b,|BC | = a , a wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego ma długość h .


PIC


Wykaż, że jeżeli b2 = a⋅h to  √- cos ∡BAC = -5−2-1 .

Zadanie 9

Wykaż, że jeżeli α i β są kątami trójkąta oraz  2 2 2 sin α = sin β + sin (α + β) to trójkąt ten jest prostokątny.

Zadanie 10

W trójkącie ABC środkowa AD jest prostopadła do boku AC . Kąt BAC ma miarę  ∘ 120 . Wykaż, że |AB | = 2|AC | .

Zadanie 11

W czworokącie wypukłym ABCD (zobacz rysunek poniżej) dane są kąty:  ∘ |∡ADC | = |∡ABC | = 90 oraz  ∘ |∡DCB | = 135 . Wykaż, że |DB-| √2- |AC | = 2 .


PIC


Zadanie 12

Kąty w trójkącie mają miary: α, β = 2α, γ = 4α . Wykaż, że długości boków a, b, c tego trójkąta spełniają równość: 1 1 1 a − b − c = 0 .

Zadanie 13

Wykaż, że jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt ten jest równoboczny.

Wersja PDF
spinner