Zadanie nr 5287267
Punkt oraz
są symetryczne względem prostej
. Wyznacz równanie prostej
.
Rozwiązanie
Jeżeli wykonamy szkicowy rysunek to dostrzegamy, że szukana prosta to symetralna odcinka .
Sposób I
Najpierw wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej postaci: przechodzącej przez punkty
i
![{ − 3 = − 5a + b . 5 = 7a+ b](https://img.zadania.info/zad/5287267/HzadR5x.gif)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i otrzymujemy
![8 2 8 = 12a ⇒ a = ---= --. 12 3](https://img.zadania.info/zad/5287267/HzadR6x.gif)
Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty
, więc musi być postaci
. Ponadto, prosta ta musi przechodzić przez środek
odcinka
. Obliczamy współrzędne środka odcinka
![( ) −-5-+-7 −-3-+-5 S = 2 , 2 = (1,1).](https://img.zadania.info/zad/5287267/HzadR13x.gif)
Podstawiamy współrzędne punktu i obliczamy wyraz wolny
![( ) 1 = 1 ⋅ − 3- + b ⇒ b = 5-. 2 2](https://img.zadania.info/zad/5287267/HzadR16x.gif)
Zatem
![3- 5- k : y = − 2x + 2.](https://img.zadania.info/zad/5287267/HzadR17x.gif)
Sposób II
Symetralna odcinka to zbiór punktów
, które są równo odległe od punktów
i
. Punkty te muszą więc spełniać równanie.
![2 2 AP = BP (x+ 5)2 + (y + 3 )2 = (x− 7)2 + (y− 5)2 x2 + 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = x 2 − 1 4x+ 49+ y2 − 10y + 25 16y = − 24x + 4 0 / : 1 6 3- 5- y = − 2x + 2.](https://img.zadania.info/zad/5287267/HzadR22x.gif)
Odpowiedź: