/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Symetralna

Zadanie nr 5287267

Punkt A = (− 5,− 3) oraz B = (7,5 ) są symetryczne względem prostej k . Wyznacz równanie prostej k .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli wykonamy szkicowy rysunek to dostrzegamy, że szukana prosta to symetralna odcinka AB .

PIC

Sposób I

Najpierw wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej postaci: y = ax+ b przechodzącej przez punkty A i B

{ − 3 = − 5a + b . 5 = 7a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i otrzymujemy

8 2 8 = 12a ⇒ a = ---= --. 12 3

Symetralna odcinka AB jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty A ,B , więc musi być postaci y = − 32x + b . Ponadto, prosta ta musi przechodzić przez środek S odcinka AB . Obliczamy współrzędne środka odcinka AB

( ) −-5-+-7 −-3-+-5 S = 2 , 2 = (1,1).

Podstawiamy współrzędne punktu S i obliczamy wyraz wolny b

( ) 1 = 1 ⋅ − 3- + b ⇒ b = 5-. 2 2

Zatem

3- 5- k : y = − 2x + 2.

Sposób II

Symetralna odcinka AB to zbiór punktów P = (x ,y ) , które są równo odległe od punktów A i B . Punkty te muszą więc spełniać równanie.

2 2 AP = BP (x+ 5)2 + (y + 3 )2 = (x− 7)2 + (y− 5)2 x2 + 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = x 2 − 1 4x+ 49+ y2 − 10y + 25 16y = − 24x + 4 0 / : 1 6 3- 5- y = − 2x + 2.

 
Odpowiedź: 3 5 y = − 2x+ 2

Wersja PDF