Zadanie nr 5368593
Wyznacz równanie symetralnej odcinka , gdzie
i
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od obrazka.
Sposób I
Symetralna to zbiór punktów , które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty spełniają więc równanie
![AM 2 = BM 2 2 2 2 2 (x + 3 ) + (y − 4) = (x− 2) + (y + 1 ) x 2 + 6x + 9+ y2 − 8y+ 16 = x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 − 10y = − 10x − 20 / : (− 10) y = x + 2.](https://img.zadania.info/zad/5368593/HzadR2x.gif)
Sposób II
Możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt
![p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .](https://img.zadania.info/zad/5368593/HzadR5x.gif)
W naszej sytuacji mamy
![→ →v = AB = [2 + 3,− 1 − 4] = [5,− 5]](https://img.zadania.info/zad/5368593/HzadR6x.gif)
oraz (środek odcinka
). Zatem szukana prosta ma równanie
![( 1) ( 3 ) 5 x+ -- − 5 y − -- = 0 / : 5 2 2 1 3 y = x+ --+ --= x + 2. 2 2](https://img.zadania.info/zad/5368593/HzadR9x.gif)
Sposób III
Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci
, na której leżą punkty o współrzędnych
i
. Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań
![{ 4 = − 3a+ b − 1 = 2a+ b](https://img.zadania.info/zad/5368593/HzadR14x.gif)
Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby zredukować ) mamy
, czyli
. Współczynnik
nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.
Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej
, więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy 1 (bo pomnożony przez
ma dawać
). Zatem symetralna ta ma postać
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka
, czyli punktu
.
![3 1 3 1 --= − --⋅0+ b ⇒ b = --+ --= 2 . 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/5368593/HzadR27x.gif)
Zatem symetralna ma równanie .
Odpowiedź: